Método de Ponto Proximal para Minimização Multiobjetivo Quase-Convexa
Autores
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Hellena Christina Fernandes Apolinário
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Informações:
Publicações do PESC
Neste trabalho, propomos dois métodos de escalarização proximal para resolver problemas de minimização multiobjetivo, sem restrições, com funções vetoriais F quase-convexas. Consideramos em um dos métodos, o subdiferencial de Clarke, e no outro, o subdiferencial de Frechét.
Em ambos os métodos, os subproblemas a serem resolvidos em cada iteração foram regularizados pelo quadrado da distância euclidiana. No primeiro método, considerando F localmente Lipschitz e quase-convexa, provamos a convergência fraca e a convergência global da sequência gerada pelo método para pontos Pareto-Clarke críticos.
No segundo método, considerando F semicontínua inferior, estabelecemos a existência das iteradas. Analisamos a convergência deste método sob alguns aspectos: primeiro, se F além de semicontínua inferior, é quase-convexa, mostramos a convergência para soluções Pareto fracas quando a sequência dos parâmetros regularizadores converge para zero e as iterações minimizam a função regularizada. Se F é contínua e quase-convexa e os parâmetros regularizadores são limitados obtemos a convergência em um sentido generalizado. Posteriormente, considerando F continuamente diferenciável e quase-convexa, mostramos a convergência global da sequência gerada pelas versões, exata e inexata, para pontos Pareto críticos.
Estes dois métodos podem ser vistos como uma extensão para o caso não convexo, do método proximal inexato para problemas de minimização convexa multiobjetivo, estudado por Bonnel et al. (SIAM Journal 15, 4, 953-970, 2005).
In this paper, we propose two proximal scalarization methods for solving multiobjective minimization problems without constraints with F a quasiconvex vector function. We consider in one of the methods, the Clarke subdifferential, and in the other, the Frechét subdifferential.
In both methods, the subproblems to be solved in each iteration were regularized by the square ofthe Euclidean distance. In the first method, considering F locally Lipschitz and quasiconvex, we prove the weak convergence and global convergence of the sequence generated by the method to Pareto-Clarke critical points.
In the second method, considering F lower semicontinuous, we have established the existence of iterations. We analyze the convergence of this method under some hypotheses: first, if F beyond lower semicontinuous, is quasi-convex, we show convergence to weak Pareto solutions when the sequence of regularization parameters converges to zero and each iteration minimizes the regularized function. If F is a continuous and quasiconvex mapping, and the regularization parameters are limited we obtain the convergence in a generalized sense. Subsequently, considering F continuously differentiable and quasiconvex, we show the global convergence of the sequence generated by the exact and inexact versions for Pareto critical points.
These methods may be seen as an extension to the nonconvex case, of the inexact proximal method for multiobjective convex minimization problems studied by Bonnel et al. (SIAM Journal 15, 4, 953-970, 2005).