O Problema de Quase-Equilíbrio: Uma Abordagem do Tipo-Newton Regutarizado

O problema de quase-equilíbrio (QEP) corresponde a um problema de equilíbrio clássico (EP) onde a região viável muda em cada ponto considerado, não sendo mais um conjunto fixo. QEP fornece, portanto, uma estrutura unificada para uma família ampla de problemas matemáticos os quais não se encaixam no escopo de EP. Isto inclui, por exemplo, problemas de equilíbrio de Nash generalizados (GNEPs) e desigualdades quase-variacionais (QVIs). Neste trabalho, propomos um método implementável do tipo-Newton para resolver o problema EP juntamente com sua extensão para o problema QEP. Analisamos as propriedades dos algoritmos e provamos a convergência local para uma solução do problema, sob hipóteses usuais para métodos do tipo-Newton, obtendo taxa de convergência superlinear/quadrática. Propomos uma globalização do algoritmo no caso EP. Apresentamos aplicações dos métodos propostos ao problema GNEP e ao problema de otimização multiobjetivo (MOP). Para aplicar os algoritmos obtidos ao problema MOP, apresentamos inicialmente uma aproximação suave da bifunção para a sua colocação como um problema EP. Posteriormente, introduzimos uma formulação que nos permite tratar o MOP como um QEP. Essa formulação possui a vantagem de fornecer um QEP com dados suaves envolvendo apenas os elementos originais do problema. Finalmente, ilustramos o comportamento numérico dos algoritmos locais por meio de problemas-teste da literatura envolvendo os problemas EP, GNEP e MOP. O algoritmo proposto para o problema de quase-equilíbrio se mostrou eficiente ao resolver um QEP que não se enquadra nem na formulação de QVIs nem na de GNEPs, além de ser capaz de resolver um GNEP nonjointly convex.